Fibonacci-Zahlen bei Sequoiadendron-Zapfen

[pgs]

An einem Zapfen vom gezwieselten Riesen-Mammutbaum im BoGaKA* habe ich die Zahl der links- und rechts-läufigen Spiralen zu 5 und 3 bestimmt.

* siehe: http://www.baumkunde.de/forum/viewtopic.php?t=11678 (Bild Nr. 7)

Ist das bei Sequoiadendron giganteum die Norm?

[Hessekopp]

Nach meiner bisherigen Wahrnehmung ... ja ... aber wie ich Kiefernspezi kenne, schlägt der gleich hier mit Bildern von einem 2-3er oder einem 5-8er auf.

[pgs]

Na, da bin ich ja mal gespannt

[Kiefernspezi]

Hallo,

nein, alles gut. Es gibt wohl gaaanz selten Abweichungen von der Norm. Sooo krass bin ich nicht drauf, dass ich jeden Zapfen darauf untersuche. Allerdings habe ich eine Dame kennengelernt, die sich darauf spezialisiert hat Zapfen mit abweichender Spiral-Zahl zu finden. Da es sich immer um Einzelfälle handelt, muss man wirklich jeden einzelnen Zapfen begutachten, um irgendwann vielleicht fündig zu werden. Also man braucht viel Geduld.

Grundsätzlich ist 3/5 das Minimum, was ich je in der Natur wahrgenommen habe (Tsuga, Pinus strobus, Sequoia etc.) Vielleicht gibt es geringeres bei weit auseinanderstehenden Blättern am Trieb?
Verringert sich der Schuppenabstand, so entstehen neue Spiralen: 5/8 (Pinus sylvestris, Picea abies, Pinus ayacahuite etc.)
Und noch dichter: 8/13 (auf Rückseite Kiefernzapfen, da Schuppen eng aufeinanderliegen, ansonsten auch von oben bei Pinus radiata)

[baumlaeufer]

Hallo,

nein, alles gut. Es gibt wohl gaaanz selten Abweichungen von der Norm. Sooo krass bin ich nicht drauf, dass ich jeden Zapfen darauf untersuche......

Wahrlich, der Kiefernspezi !!!!

Na toll, was hier beschrieben wird!!!! Ich weit davon entfernt, die Spiralen zu zählen, sondern möchte einfach nur wissen was ein Fibonacci ist!!!!!

Baumlaeufer

[Hessekopp]

Leonardo da Pisa - auch Fibonacci genannt - war ein Mathematiker.
Mit Hilfe der Fibonacci-Zahlen(-Folge) beschrieb er 1202 das Wachstum einer (idealisierten) Kaninchenpopulation.
Sie Lautet: 0 - 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 usw, wobei das nächste Glied dadurch entsteht, daß man die beiden vorherigen addiert, die nächste Zahl nach 21 wäre also 13+21=34, die danach dann 21+34=55.
Die Folge selbst (und damit die Fibonacci-Zahlen) war aber schon in der Antike bekannt.
Somit verhält es sich mit ihnen ähnlich wie mit dem kopernikanischen Weltbild, welches schon in der Antike den Griechen bekannt war (siehe Aristarch von Samos). Das heliozentrische Weltbild hat Kopernikus also "nur" wiedergefunden, genau wie Leonardo da Pisa diese Zahlenfolge.

[pgs]

...

Na toll, was hier beschrieben wird!!!! Ich bin weit davon entfernt, die Spiralen zu zählen, sondern möchte einfach nur wissen was ein Fibonacci ist!!!!!

Baumlaeufer

Hier findest du die Erklärung der Fibonacci-Folge in Gedichtform:

http://www.baumkunde.de/forum/viewtopic.php?t=11967

Hat was mit dem Goldenen Schnitt zu tun: die Folge der Brüche benachbarter Fibonacci-Zahlen kommen dem Teilungs-Verhältnis "Goldener Schnitt" (Teilung einer Strecke, so dass der größere Teil sich zum Ganzen wie der kleinere Teil zum Größeren verhält) immer näher:

1/1=1,00000
1/2=0,50000
2/3=0,66667
3/5=0,60000
5/8=0,62500
8/13=0,61538
13/21=0,61905
21/34=0,61765
34/55=0,61818
.
.
der exakte Wert ist (WURZEL(5)-1)/2= 0,61803....

Die benachbarten Fibonacci-Zahlen 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, ... kommen in vielen Blatt oder Schuppen-Anordnungen als Zahl von rechts- und linksdrehenden Spiralen in der Natur vor (Kiefernzapfen, Sonnenblume, Ananas...)

[Kiefernspezi]

Jetzt ist alles klar, wa?

Viele Grüße

[Hessekopp]

Hmmmmmmmmm Kiefernspezi, wenn wir hier schon so tief eintauchen, dann seien mir noch ein paar winzige Erläuterungen erlaubt ... ich fasse mich kurz ... Es geht vielmehr um den goldenen Winkel, der als goldener Schnitt des Vollkreises entsteht, also etwa 222,5° oder 137,5°, je nach Drehrichtung ... und diesen Drehwinkel (also nicht Winkel zwischen zwei Schuppen, sondern der Winkel, um den zwei Schuppen auf der Zapfenspinden verdreht sind, also wie beim Aufschrauben einer Mutter auf eine Schraube, bei der eine halbe Umdrehung 180° entspräche) haben u.a. Zapfenschuppen (ausgenommen die Zapfen mit symmetrischem Aufbau).

Sowohl goldener Schnitt als folglich auch goldener Winkel sind irrational, können also nicht als Bruch ganzer Zahlen dargestellt werden. Dies hat zur Folge, daß sich keinerlei Periodizität einstellt, also auch am unendlich langen Zapfen sich niemals zwei Schuppen exakt übereinander befinden.

fib(n-1)/fib(n) mit fib(n) die n-te Fibonaccizahl ist aber schon für kleine n eine gute Näherung der Vollkreisteilung (des goldenen Schnitts). Je nach Schuppengröße und Zapfenumfang, also jenachdem, wieviele Schuppen nebeneinander auf einen Umfang passen würden, hat der Zapfen mit einer Fibonaccizahl an Schuppen fast oder etwas mehr als eine ganzzahlige (genauer: eine fibonaccizahlige) Anzahl an Umdrehungen hinter sich, nach einer Fibonaccizahl Schuppen stehen also jeweils zwei davon "fast" untereinander.

Da Zapfenschuppen meist mehr oder weniger rhombisch sind, bieten sich dem menschlichen Auge, welches intuitiv den dadurch mehr oder weniger linienartig ausgeprägten Zapfenschuppenrändern folgt, eine linksdrehende und eine rechtsdrehende Spirale an ... und davon in jeder Richtung jeweils wieder eine Fibonaccizahl viele.
Wenn man nicht über die Kanten sieht (also nicht den Furchen folgt), sondern gedanklich über die Ecken blickt, erhält man weitere Spiralen und davon wieder eine Fibonaccizahl viele.

Das klingt kompliziert? Ja das ist es.
Ich werde es an zwei anschaulicheren Beispielen verdeutlichen, die nichts mit Zapfen zu tun haben (hier wird Kiefernspezi zurecht widersprechen, denn es hat biologisch sehrwohl mit Zapfen zu tun), aber demselben Prinzip folgen:

Die Nadelstellung von Sequoiadendron giganteum wird gern als "in drei Längsreihen schraubig" beschrieben. Sie folgt demselben oben beschriebenen Prinzip. Eine Nadel zur nächsten ist um grob 137,5° am Ast verdreht. Nach 3 Nadeln haben wir also grob 412,5°, also etwas mehr (52,5°) als eine Umdrehung vollzogen. Daher stehen die "Längsreihen" "schraubig". Sie schrauben mit grob 52,5° von Nadel zu Nadel, wobei allerdings die Nadeln 1,4,7 ... 2,5,8 ... 3,6,9 ... je eine Reihe bilden.

Die Nadelstellung von Cryptomeria japonica wird gern als "in 5 Längsreihen schraubig" beschrieben. Auch hier ist eine Nadel zur nächsten um grob 137,5° am Ast verdreht. Nach 5 Nadeln haben wir also 687,5°, also etwas weniger (32,5°) als zwei Umdrehungen vollzogen. Daher stehen die "Längsreihen" "schraubig". Sie "schrauben mit grob 32,5° von Nadel zu Nadel, wobei allerdings die Nadeln 1,6,11 ... 2,7,12 ... 3,8,13 ... 4,9,14 ... 5,10, 15 ... je eine Reihe bilden.

Beide folgen demselben Bauplan und doch erscheint die eine Pflanze dreireihig und die andere fünfreihig. Der Unterschied liegt einzig und allein im Verhältnis von Nadelabstand zu Zweigdurchmesser.
Betrachte dazu ältere Zweige oder Äste von Cryptomeria oder Sequoiadendron. Da ist von Drei- oder Fünfreihigkeit scheinbar nichts mehr übrig, aber mit etwas Phantasie kann man höhere "Fibonacci-Reihigkeit" erkennen. Durch das Dickenwachstum des Zweiges entstehen also "höherfibonaccige" Spiralen, am Drehwinkel und am Longitudinalabstand am Zweig zwischen den Nadeln ändert sich beim Dickenwachstum schließlich nichts.

Nehmen wir also gedanklich einen Cryptomeriazweig und lassen ihn in der Dicke wachsen. Am dünnen Zweigchen hatten wir von der 1. zur 6. Nadel (also 5 Nadeln weiter) einen Winkel von grob 32,5° ... die 9. Nadel (also 8 Nadeln weiter) war optisch weiter weg und die 6. einfach näher dran. Wenn wir aber den Zweig in seiner Dicke wachsen lassen, wandert die 6. durch das Dickenwachstum weiter weg. Der Drehwinkel zur 9. Nadel (8 Nadeln weiter) ist allerdings etwa 1100°, also gerademal grob 20° mehr als drei Kreisumdrehungen, und bei ausreichendem Dickenwachstum ist die 9 Nadel aufeinmal näher als die 6. , da sie aufgrund des kleineren Drehwinkels langsamer wegwächst, damit haben wir optisch 8 Nadelzeilen. Wenn wir den Zweig weiter wachsen lassen, erscheint die 14. (13 Nadeln weiter) noch näher und wir erhalten 13 Nadelzeilen usw, da fib(n-1)/fib(n) mit fib(n) die n-te Fibonaccizahl für steigende n den goldenen Schnitt und damit den goldenen Winkel immer besser approximiert, der Drehwinkel von fibonaccizahlingen Nadeln weiter hinten also immer geringer wird.

Wenn wir uns jetzt den Zweig als Zapfen vorstellen und die Nadeln durch Zapfenschuppen ersetzen, sind wir wieder beim Zapfen.

Ich habe versucht, die Mathematik soweit als möglich rauszulassen. Infolgedessen bin ich mathematisch hier und da etwas unscharf und es fehlen wichtige Beweise, die jedoch den Rahmen dieses Forums gesprengt hätten und die ab der dritten Zeile eh niemand mehr gelesen hätte (und die ich auch nichtmehr soeben aus der Hüfte parat gehabt hätte).

[Kiefernspezi]

Also das ist alles richtig bis auf den Winkel zu den alternierenden Blättern bzw. Zapfenschuppen, der beträgt nämlich 32, 5 Grad.
Die sogenannten Parastichen (das sind die optisch erkennbaren Spiralen) können so sein, dass z.b. die 3er linksdrehend, die 5er rechtsdrehend ist. Es kann aber auch umgekehrt sein. Die ECHTE Spirale dreht sich entgegengesetzt zur 5er Spirale. Könnt ihr ja mal ausprobieren.

[Hessekopp]

Also das ist alles richtig bis auf den Winkel zu den alternierenden Blättern bzw. Zapfenschuppen, der beträgt nämlich 32, 5 Grad.

Öhm ... nö ... wie kommst du auf 32,5°?

Edith meint, gefunden zu haben, was du meinst ... Kopfrechenfehler ... ich habe das korrigiert

[Hessekopp]

Die sogenannten Parastichen (das sind die optisch erkennbaren Spiralen) können so sein, dass z.b. die 3er linksdrehend, die 5er rechtsdrehend ist. Es kann aber auch umgekehrt sein. Die ECHTE Spirale dreht sich entgegengesetzt zur 5er Spirale. Könnt ihr ja mal ausprobieren.

Die von pgs angesprochene Folge konvergiert alternierend (die Ergebnisse sind abwechselnd kleiner und größer als der Grenzwert/der goldene Schnitt), das heißt die Fibonacci-Spiralen sind abwechselnd links und rechtsdrehend bei aufsteigender Fibonacci-Zahl.
Die ECHTE Spirale ist die 1-er, die 2er dreht andersrum, die 3er wieder in dieselbe richtung wie die 1er, die 5er wieder andersrum, die 8er wieder in die selbe richtung wie die 1er, die 13er wieder andersrum ...

[Kiefernspezi]

Mit dreht der Kopf...!

Wir müssen achtgeben, dass die Diskussion nicht zu abstrackt wird.
Im Grunde dreht sich nämlich gar nichts. Real existiert nur eine Grundspirale, die aus den entlang der Achse nächstliegenden Blättern oder Zapfenschuppen besteht. Die Parastichen sind optisch gezogene Linien.

Viele Grüße

[Kiefernspezi]

Interessant finde ich persönlich, dass es viele symmetrische Anordnungsmöglichkeiten gibt, wie zum Beispiel die kreuzgegenständige, die wirtelige und dann die völlig andere spiralige. Und doch können auch diese Spielweisen der Natur gemeinsam an einer Pflanze auftreten oder spontan als Fehlbildung vorkommen.
Die nach wie vor nicht geklärten Grundlagen der Blattbildung sind bei allen Möglichkeiten die selben.

Viele Grüße

[Kiefernspezi]

Bin grad zufällig auf diesen Artikel gestoßen, den pgs noch initiiert hatte.
Im letzten Beitrag habe ich kurz darauf hingewiesen, dass es grundsätzlich möglich ist, dass vermutlich jede uns bekannte Pflanze in einer Weise manipuliert werden kann, dass sie ihren Bauplan wechselt.
Das heißt, eine Art mit spiralig angeordneten Blättern kann auch kreuzgegenständige oder wirtelige Blätter zeigen, wenn wir sie entsprechend manipulieren. Davon sind wir zwar noch weit entfernt, weil nach wie vor ungeklärt ist, was genau die Form der Blattanordnung vorgibt.

Um noch einmal zum Status Q zurückzukommen: Normalerweise gibt die Anordnung der Blätter die Anordnung der Zapfenschuppen vor. Daher hat jede Konifere i.d.R. nur einen Zapfentypus, der entweder wie der Bergmammutbaum spiralig, wie die Zypresse kreuzgegenständig oder wie der gemeine Wacholder wirtelig zu 3 ist.

In dem folgenden Beispiel sind Scheinzypressen-Zapfen einer Art und Sorte zu sehen, die alle 3 Formen innerhalb einer Pflanze zeigen - und das dauerhaft. Es handelt sich nicht um eine spontane Fehlbildung.